运用均值不等式解题的变形技巧

发布于:2021-05-12 01:07:07

运用均值不等式解题的变形技巧 陕西汉中 241 信箱 405 学校 侯有岐

利用均值不等式解题的关键是凑 “定和” 和“定积” ,此时往往 需要采用“拆项、补项、*衡系数”等变形技巧找到定值,再利用均值 不等式来求解,使复杂问题简单化,收到事半功倍的效果. 一、 拆项 4 例 1(原人教版课本*题)已知 n>0,求证: n ? 2 ? 3 n 证明:因为 n>0 所以 n+
4 n n 4 n n 4 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 3 2 n 2 2 n 2 2 n

当且仅当 n=2 时等号成立. 二、 拆幂 例 2(1993 年全国高考题)如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,那么 圆柱体积的最大值是( )
?l? (A) ? ? ? ?6?
3

?l? (B) ? ? ? ?3?

3

1? l ? ?l? (C) ? ? ? (D) ? ? ? 4?4? ?4?

3

3

解:设圆柱底面半径为 r ,高为 h , 则 2h ? 4r ? l , 即h ? 2r ?
?l ?l ?h? ? l ? v ? ?r h ? ?r ?r ?h ? ? ? ? ? ? ? ? , 故选(A) . ? 3 ? ?6?
3 3 2

l 2

三、 升幂 例3
? ?? 设 x ? ?0, ? , 求y=sin 2 x ? cos x 的最大值 . ? 2?

? ?? 解: ? x ? ?0, ? , ? y=sin 2 x ? cos x ? 0 ? 2? ? y 2 ? sin 4 x ? cos 2 x

1 1 =4( sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 1 2 1 2 sin x+ sin x+ cos 2 x 4 2 ? 4( 2 )3 = 3 27
? y? 2 3 1 , 当且仅当 sin 2 x= cos 2 x, 9 2 2 3 . 9

即 tan 2 x=2时等号成立,故y max ?

4、整体代换
1 1 例 4 已知x, y ? R ? , 且x ? 2 y ? 1, 求证: ? ? 3 ? 2 2 x y

证明: x, y ? R ? , x+2y=1, ? 1 1 1 1 2y x ? ? =(x+2y) ( ? ) =3+ ? x y x y x y ? 3? 2 当且仅当 2y x ? ? 3? 2 2 x y

2y x 2 = 即 x ? 2 ? 1, y ? 1 ? 时等号成立 x y 2

5、*衡系数 例 5 用总长 14.8 米的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所 制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 米, 那么高为多少时容器的容积 最大?并求出它的最大容积. 解:设容器底面短边长为 x 米,则另一边长为(x+0.5)米,并设 14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) 容积为 y 米3 ,其中容器的高为 ? 3.2 ? 2 x 4
从而 y ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) = (0<x<1.6) 1 ? 3x ? (2 x ? 1)(8 ? 5 x) 15 1 ? 3x ? (2 x ? 1) ? (8 ? 5 x) ? ? ? 1.8 15 ? 3 ? ?
3

?

当且仅当 3 x ? 2 x ? 1 ? 8 ? 5 x 即 x=1时取等号,这时高为3.2-2 ?1=1.2 所以,高为 1.2 米时容积最大,最大容积为 1.8米3 .

6、分离取倒数 例6
解: y ?
求函数y= x+1 (x>-1)的最大值. (x+5)(x+2)

x ?1 x ?1 1 = = 2 ( x ? 5)( x ? 2) ( x ? 1) ? 5( x ? 1) ? 4 (x+1)+ 4 ? 5 x+1 ? x>-1 ? x+1>0
1 4 4 ? (x ? 1 ? ) ? ? 2x ? ? 1 ) ? ? 5 9 5 ( y x? 1 x? 1 1 ?y ? 9 4 1 当且仅当 x ? 1 ? 即 x=1 时取等号,故y m a x? x ?1 9 ?

7、换元 例7
求函数y= x+2 的最大值 2x+5

解: 令 t ? x ? 2, 则 x ? t 2 ? 2 (t ? 0), y= 当 t=0时, y=0; 当 t>0时, y= 1 1 2t+ t ? 1 2 2t ? 1 t ? 2 4

t 2t ? 1
2

(t ? 0)

1 2 当且仅当 2t= , 即 t= 时取等号 t 2 3 2 ? x ? ? 时函数取最大值 . 2 4

总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定 三等” ,同时还要注意一些变形技巧,灵活运用均值不等式.


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